Reprodução de Resultados da Literatura e Contribuições Pedagógicas
Problema de Coloração de Vértices segundo o Teorema de Brooks
DOI:
https://doi.org/10.20873/uft.2675-3588.2026.v7n2.p61-70Palavras-chave:
Teoria dos Grafos, Coloração de Grafos, Teorema de Brooks, Número CromáticoResumo
Este estudo reproduz uma prova final do Teorema de Brooks, um dos resultados fundamentais para a Coloração de Grafos, visando não apenas à consolidação do conhecimento teórico, mas também para a produção de um material didático de apoio para a comunidade acadêmica, traduzindo a complexidade da prova por meio de exemplos ilustrativos, figuras e explicações detalhadas. O teorema estabelece um limite superior para o número cromático χ(G) de qualquer grafo conexo com o seu grau máximo Δ(G), tal que o grafo analisado não seja um ciclo ímpar e nem um grafo completo. A metodologia utilizada foi a prova por contradição, assumindo um contraexemplo minimal, integrada com duas técnicas cruciais, juntamente com ilustrações para facilitar o ensino. A prova é iniciada com o Lema Estrutural de Lovász, o qual é aplicado para resolver o caso dos grafos Δ-regulares e não completos. E também, a utilização da justificativa de Cadeias de Kempe permite demonstrar que a falha estrutural da coloração só é possível em casos excepcionais onde o grafo é completo ou um ciclo ímpar. O resultado é a confirmação de χ(G) ≤ Δ(G) para todo grafo conexo, exceto os casos proibidos.
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