From Green’s Theorem to the Shoelace Formula: An Application to the Calculation of the Area of the State of Tocantins

Authors

  • Dimas Rosa Pimentel Universidade Federal do Tocantins https://orcid.org/0009-0006-7168-6953
  • Thiago Rodrigues Cavalcante UFT- Campus Arraias,Tocantins, Brasil
  • Edcarlos Domingos da Silva Universidade Federal de Goias, IME, Goi\^ania-GO, Brazil.

DOI:

https://doi.org/10.20873/retmat.uft.v1n1.2026.23266

Keywords:

Shoelace Formula; Green's Theorem; Determinants; Area Calculation; Mathematics Teaching

Abstract

This article presents a deduction of the Shoelace Formula from Green's Theorem, highlighting the relationships between determinants, line integrals, and the calculation of areas of polygonal regions. First, the geometric interpretation of determinants is discussed as a tool for area calculation, establishing connections between concepts from Analytic Geometry and Vector Calculus. The Shoelace Formula is then deduced by parametrizing the edges of a simple polygon and applying Green's Theorem. As an application, the method is used to estimate the area of the State of Tocantins by discretizing its boundary into points in the Cartesian plane, yielding a value close to the officially reported area.

References

[1] ANTON, Howard; RORRES, Chris. Álgebra linear com aplicações. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2012.

[2] BIEMBENGUT, Maria Salett; HEIN, Nelson. Modelagem matemática no ensino. 5. ed. São Paulo: Contexto, 2011.

[3] BOURKE, Paul. Calculating the Area and Centroid of a Polygon. 1988.

[4] BRADEN, Bart. The Surveyor’s Area Formula. The College Mathematics Journal, v. 17, n. 4, p. 326–337, 1986.

[5] HEFEZ, Abramo; FERNANDEZ, Cecília S. Introdução à Álgebra Linear. 4. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2025.

[6] JORDAN, W. Handbuch der Vermessungskunde. 3. ed. Stuttgart: J. B. Metzlersche Buchhandlung, 1890.

[7] LARSON, Ron. Elementos de Álgebra Linear. São Paulo: Cengage Learning, 2017.

[8] MARSDEN, Jerrold E.; TROMBA, Anthony J. Cálculo Vetorial. São Paulo: Pearson, 2011.

[9] MIZUKAMI, Maria da Graça Nicoletti. Ensino: as abordagens do processo. São Paulo: EPU, 1986.

[10] SANTOS, Emerson Fernando Dantas dos. Fórmula de Shoelace: dedução, interpretação geométrica e aplicações. 2025. Monografia (Licenciatura em Matemática) – Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Caicó, 2025.

[11] SILVA, Henrique Lobato da; LIRA, Rogério Figueiredo; MENDONÇA, Paulo Cleber Teixeira; SILVA, Warley Gramacho da. Método prático para cálculo de área de um polígono convexo tendo conhecimento dos seus vértices. Academic Journal on Computing, Engineering and Applied Mathematics, v. 5, n. 1, p. 1–4, 2023.

[12] STEWART, James. Cálculo. 8. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2016.

[13] THOMAS, George B.; WEIR, Maurice D.; HASS, Joel. Cálculo. v. 2. 12. ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2012.

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Published

2026-07-01

How to Cite

Rosa Pimentel, D., Rodrigues Cavalcante, T., & Domingos da Silva, E. (2026). From Green’s Theorem to the Shoelace Formula: An Application to the Calculation of the Area of the State of Tocantins. Revista Tocantinense De Matemática , 1(1). https://doi.org/10.20873/retmat.uft.v1n1.2026.23266

Issue

Vol. 1 No. 1 (2026): Edição inaugural

Section

Edição inaugural

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