Revista Tocantinense de Matematica
e-ISSN: 3086-7371
Vol. 1, n. 1, 2026, p. 1–21
DOI: 10.20873/retmat.uft.v1n1.2026.23628
Recebido: 23 de setembro de 2026
Aceito: 05 de novembro de 2026
Sobre o ensino de alguns números irracionais
Gustavo S. Araújo1,*, Cícero A. da Silva Filho2, Jefferson B. de Lima3, Aldo T. Lourêdo4
Resumo
Este artigo apresenta, de forma didática, os valores irracionais de funções trigonométricas
gerados a partir de argumentos não notáveis, ou seja, ângulos que raramente aparecem nos
livros didáticos do ensino básico. Diferenciando-se das abordagens tradicionais baseadas na
geometria plana, a proposta utiliza números complexos e a representação do
cos θ
e a partir
dele, obtemos infinitos números trigonométricos irracionais. Para enriquecer a visualização
geométrica desses conceitos e facilitar a compreensão, integramos ilustrações dinâmicas
desenvolvidas nos softwares GeoGebra e Manim (via Python). Como contribuição prática,
o trabalho oferece uma proposta de uma sequência didática, ideal para ser aplicada por
professores e explorada por estudantes em sala de aula.
Palavras-chave: Números irracionais; Funções trigonométricas; Manim; GeoGebra.
MSC 2020:
Abstract
This article presents, in a didactic manner, irrational values of trigonometric functions
obtained at angles other than the usual special angles, that is, angles that rarely appear in
school textbooks. Unlike traditional approaches based on plane geometry, the proposed
approach uses complex numbers and a representation of
cos θ
, from which we obtain
infinitely many irrational trigonometric numbers. To enrich the geometric visualization of
these concepts and facilitate understanding, we incorporate dynamic illustrations developed
using GeoGebra and Manim (via Python). As a practical contribution, the paper proposes
a teaching sequence, ideal for teachers to implement and for students to explore in the
classroom.
Keywords: Irrational numbers; Trigonometric functions; Manim; GeoGebra.
Sumário
1 Introdução 2
2 Abordagem histórica 2
*Autor correspondente
1DM - UEPB, Campina Grande - PB - Brasil; gustavoaraujo@servidor.uepb.edu.br
2DCEX- UESC, Ilhéus - BA - Brasil; cicero@uesc.br
3ICEA – UFOP, João Monlevade – MG – Brasil; jefferson.bl@aluno.ufop.edu.br
4DM - UEPB, Campina Grande - PB - Brasil; aldo@servidor.uepb.edu.com.br
ReTMAT 2
3 Resultados preliminares 5
4 Resultados principais 6
5 Proposta de uma sequência didática 14
6 Considerações finais 20
1 Introdução
O estudo de valores irracionais das funções trigonométricas permite relacionar propriedades
dos números reais a problemas de geometria e ampliar os exemplos discutidos no Ensino
Médio. Com esse propósito, partimos de propriedades das raízes complexas da equação
zn
= 1,
com
n≥
2inteiro e
z∈C
, para obter expressões exatas de seno e cosseno e, a partir delas,
construir famílias infinitas de irracionais por transformações com coeficientes racionais; esse
percurso retoma resultados sobre números racionais e irracionais tratados por Niven [
18
,
19
],
de Figueiredo [9], de Morais Filho e Lourêdo [16] e Lima et al. [15].
Na Base Nacional Comum Curricular (BNCC) [
3
], os números irracionais integram a
unidade temática Números do Ensino Fundamental, com atenção à incomensurabilidade e à
localização aproximada na reta real, conhecimentos que podem ser retomados no Ensino Médio
em situações geométricas e trigonométricas. A proposta desenvolvida neste artigo retoma essas
ideias e amplia a discussão por meio de construções geométricas e de situações envolvendo
funções trigonométricas, buscando aproximar diferentes formas de representar e compreender
esses números.
Nesse contexto, o GeoGebra [
12
] e o Manim [
10
] contribuem de forma complementar.
O GeoGebra é utilizado nas construções geométricas e na exploração das relações entre
os elementos das figuras, enquanto as animações em Manim auxiliam na visualização dos
resultados e das transformações discutidas no texto. Esses recursos integram a sequência
didática apresentada ao final do artigo e são utilizados como apoio à compreensão dos conceitos
e à organização das ideias matemáticas desenvolvidas ao longo do trabalho.
Após esta introdução, apresentamos uma abordagem histórica da Seção 2, reunimos na
Seção 3os resultados preliminares utilizados nas demonstrações da Seção 4, onde também são
apresentadas as construções e a animação associada à Observação 4.3. A Seção 5organiza
esses elementos em uma proposta de sequência didática, seguida das considerações finais na
Seção 6.
2 Abordagem histórica
Nesta seção, realizaremos uma revisão histórica sobre os números irracionais e os números
irracionais trigonométricos. Para uma análise mais abrangente e detalhada desses conceitos,
recomendamos a leitura das referências bibliográficas [2,20].
A noção de números irracionais remonta à antiga Grécia, período em que foram desenvolvidos
importantes conceitos e resultados que contribuíram para a consolidação da matemática como
ciência. Os primeiros conflitos surgiram quando os gregos descobriram que nem todas as
medidas podiam ser expressas como razões de números inteiros. A descoberta mais famosa foi a
de que a raiz quadrada de 2 não pode ser expressa como uma razão entre dois números inteiros,
fato que foi provado por Hípaso de Metaponto, um discípulo de Pitágoras. Modernamente,
denominamos esse tipo de número de irracional. A revelação de que existiam números que não
podiam ser expressos como uma fração inteira trouxe um desafio para a visão pitagórica do
ReTMAT 3
mundo, que acreditava que todos os aspectos do universo podiam ser explicados por números
inteiros e suas razões.
Os polígonos regulares têm despertado fascínio entre os estudiosos da geometria desde
os primórdios da ciência (ver, por exemplo, [
6
]). Os babilônios já haviam compreendido
o triângulo equilátero e o quadrado. Os gregos, por sua vez, direcionaram sua atenção ao
pentágono regular, um polígono com cinco vértices. Ao desenharmos todas as diagonais de um
pentágono regular, obtemos uma estrela, como ilustrado na Figura 1.
Figura 1: Estrela obtida pelas diagonais de um pentágono regular.
Fonte: [20].
Esta estrela era para os pitagóricos um símbolo de reconhecimento entre os membros,
tradição que perdura até hoje em movimentos revolucionários. Em [
20
], é apresentada uma
construção para determinar o comprimento, digamos Φ, da diagonal de um pentágono regular
de lado 1(veja a Figura 2).
Figura 2: Pentágono regular de lado unitário e segmentos associados à sua diagonal.
(a) 1
1
1
1
1
Φ
(b) 1
1
1
1
1
A
B
C D
E
F
(c)
Φ
1
s
1
α
αα2α
A
C D
F
Fonte: Esquema baseado em Ostermann e Wanner [20].
A construção da Figura 2permite obter Φ =
√5+1
2
e
s
=
√5−1
2
(ver [
14
,
20
]). A demonstração
geométrica desse resultado é apresentada em uma animação complementar, que pode ser
acessada escaneando ou clicando no QR code da Figura 3.
ReTMAT 4
Figura 3: QR Code para a animação do pentágono regular.
Fonte: Elaborado pelos autores.
“Tudo é número”, afirmou Pitágoras, que aparentemente tinha em mente apenas
números racionais. No entanto, logo se descobriu que
√2
e
ϕ
não são racionais...
O fato de o pentágono regular, considerado sagrado pelos pitagóricos, ter
uma diagonal não mensurável foi um verdadeiro choque. Uma lenda diz que
Hípaso, tendo descoberto esse fato e falado demais, se afogou no mar. Essa
descoberta também foi um grande transtorno para a teoria... Isso complicou
consideravelmente os Elementos de Euclides... O número
ϕ
é chamado de
proporção áurea. O fato de muitos belos edifícios antigos, em particular o
Partenon na Acrópole, se encaixarem tão perfeitamente em um “retângulo
dourado” (um retângulo com lados de comprimento 1e
ϕ
) levou à notação
ϕ
em homenagem a seu arquiteto (OSTERMANN, A.; WANNER, G. [20]).
A aceitação dos números irracionais também encontrou desafios em outras civilizações. No
mundo islâmico medieval, a matemática avançou consideravelmente, mas a ideia de números
irracionais foi inicialmente rejeitada por alguns estudiosos islâmicos. Foi apenas no século IX
que o matemático persa Al-Khwarizmi (ver [
5
]) reconheceu a existência dos números irracionais
e os incorporou em suas obras.
A abordagem dos números irracionais trigonométricos teve um desenvolvimento separado.
A trigonometria se originou na antiga civilização grega, onde o estudo dos triângulos e dos
círculos levou à descoberta de relações trigonométricas fundamentais. No entanto, ao calcular
certos valores trigonométricos, os gregos encontraram resultados que não podiam ser expressos
como frações. Por exemplo, a medida dos ângulos em radianos mostrou-se frequentemente
irracional.
Os números irracionais trigonométricos foram amplamente estudados pelos matemáticos
indianos e islâmicos medievais. A obra do matemático indiano Aryabhata (ver [
5
]), no século
V, envolveu a utilização de senos e cossenos de ângulos irracionais. Posteriormente (ver [
1
]),
Al-Biruni, matemático, astrônomo, historiador e polímata persa, que viveu entre os séculos
X e XI, explorou amplamente os números irracionais e sua aplicação na trigonometria. Al-
Biruni investigou a relação entre ângulos e cordas em círculos, expandindo os conhecimentos
matemáticos existentes da época. Ele reconheceu que muitos valores de cordas correspondiam
a números irracionais e investigou os métodos para calcular esses valores com precisão. Além
disso, ele desenvolveu técnicas trigonométricas para a medição de ângulos e a determinação de
distâncias astronômicas.
Os números irracionais são uma categoria importante na teoria dos números e desempenham
um papel fundamental na matemática. São números que não podem ser expressos como uma
fração simples (razão de dois inteiros) e não têm uma representação decimal periódica. Nesta
categoria, destacam-se os números irracionais trigonométricos, que estão relacionados com as
funções trigonométricas e aparecem em diversas áreas da matemática e física (ver [
7
,
13
] e
[19]).
ReTMAT 5
3 Resultados preliminares
Nesta seção enunciaremos e demonstraremos os resultados auxiliares que serão usados no
decorrer do artigo. ara uma abordagem complementar dos números reais e de propriedades
elementares da teoria dos números, recomendamos as referências [8,21] ou [22].
Lema 3.1. Se pé um primo tal que p|ab, então p|aou p|b.
Lema 3.2. Sejam
a, p ∈Z
, com
a
= 0 e
p
um número primo. Então,
a
é divisível por
p
se, e
somente se, a2é divisível por p.
Demonstração.
Notemos inicialmente que para qualquer inteiro
n
, pelo Algoritmo de Euclides,
n
=
pq
+
r
, em que
p, q ∈Z
e
r∈ {
0
,
1
,
2
, . . . , p −
1
}
. Logo, se o inteiro
n
for divisível por
p
,
ele é da forma n=pq, com q∈Z.
(⇒)Suponhamos que aé divisível por p. Então, a=pn, com n∈Z.Logo,
a2= (pn)2=p2n2=p(pn2)=pk, com k=pn2∈Z.
(⇐)Segue diretamente do Lema 3.1.
A distinção entre números racionais e irracionais, bem como algumas de suas caracterizações,
é discutida em [
4
]. A seguir, apresentamos uma demonstração clássica da irracionalidade da
raiz quadrada de um número primo.
Lema 3.3. Se pé um número primo, então √pé um número irracional.
Demonstração.
Suponhamos que
√p
é um número racional, isto é,
√p
=
a
b
, com
a, b ∈Z
,
b
= 0 e
mdc
(
a, b
) = 1. Assim, obtemos que
p
=
a2
b2
, o que implica que
a2
=
pb2
e, pelo Lema
3.2, resulta que
a
é divisível por
p
. Logo,
a
=
pn
, para algum
n∈Z.
Como
a2
=
pb2
, temos
que (
pn
)
2
=
pb2
, o que implica que
b2
=
pk
, com
k
=
n2
. Novamente pelo Lema 3.2, obtemos
que
b
é divisível por
p
. Como
p
divide
a
e
b
, obtemos que
mdc
(
a, b
)
≥p
, o que contraria o
fato do mdc(a, b)=1. Portanto, √pé um número irracional.
Dados dois conjuntos AeB, a diferença A−Bé definida por
A−B={x∈A:x /∈B}.
Assim, no que segue, o conjunto dos números irracionais será denotado por R−Q.
Lema 3.4. Sejam 0=α∈Qeβ∈R−Q.Então, α+β∈R−Qeαβ ∈R−Q.
Demonstração. Suponhamos que α+β∈Qou αβ ∈Q, isto é, que existem x, y ∈Qtais que
α
+
β
=
x∈Q
ou
αβ
=
y∈Q
. Assim,
β
=
x−α∈Q
ou
β
=
y
α∈Q
, o que é um absurdo,
pois β∈R−QeQ∩(R−Q)=∅.
O resultado abaixo será de extrema importância para obtermos os resultados principais
desse trabalho. Antes, lembremos que um número complexo
w
é denominado uma raiz
n
-ésima
da unidade se
wn
= 1, para algum inteiro positivo
n
. As raízes
n
-ésimas da unidade são dadas
por
wk= cos 2kπ
n+isen 2kπ
n, k = 0,1,...,n−1.
Geometricamente, essas raízes correspondem a
n
pontos igualmente espaçados sobre a circun-
ferência unitária do plano complexo, formando os vértices de um polígono regular de
n
lados,
para
n≥
3. Por exemplo, as soluções da equação
z5
= 1 são representadas pelos vértices de
um pentágono regular inscrito na circunferência unitária, conforme ilustrado na Figura 4.
ReTMAT 6
Figura 4: As cinco raízes quintas da unidade, com w0= 1, formando um pentágono regular.
Fonte: Elaborada pelos autores no GeoGebra.
Lema 3.5. Seja w∈C, com w= 1 uma raiz da equação wn= 1. Então,
1+w+w2+··· +wn−1= 0.
Demonstração. Seja
S= 1 + w+w2+··· +wn−1.(1)
Multiplicando ambos os membros de (1) por w, obtemos que
wS =w+w2+w3+···+wn−1+wn,(2)
Subtraindo (2) de (1), obtemos que
S(1 −w) = 1 −wn.
Como w= 1 ewn= 1, segue que S= 0, como queríamos demonstrar.
Outro resultado de fundamental importância para o desenvolvimento deste trabalho é a
Fórmula de De Moivre para potências, que enunciamos a seguir.
Lema 3.6 (Fórmula de De Moivre para potências).Seja
z
=
r
(
cos θ
+
isen θ
)um número
complexo não nulo, em que r > 0eθ∈R. Então, para todo n∈Z, tem-se
zn=rncos(nθ)+isen(nθ).
4 Resultados principais
Nesta seção apresentaremos e demonstraremos os principais resultados deste trabalho.
Antes disso, recordemos que a cada número complexo
z
=
a
+
bi ∈C
podemos associar um
ponto (
a, b
)
∈R2
e, reciprocamente, a cada ponto (
a, b
)
∈R2
podemos associar um número
complexo z=a+bi ∈C.
Essa correspondência é justificada pelo fato de que os espaços vetoriais
R2
e
C
são isomorfos.
Mais precisamente, considere a aplicação
T:R2−→ C
(a, b)7−→ a+bi.
É imediato verificar que
T
é uma transformação linear bijetora. Portanto, concluímos que os
espaços vetoriais R2eCsão isomorfos.
ReTMAT 7
Proposição 4.1. Para θ=2π
5, temos
cos θ, sen θ∈R−Q,(3)
cos 2θ, sen 2θ∈R−Q,(4)
cos θ
2,sen θ
2∈R−Q.(5)
Além disso,
cos θ=−1 + √5
4esen θ=q10 + 2√5
4,(6)
cos 2θ=−1−√5
4esen 2θ=q10 −2√5
4,(7)
cos θ
2=s3 + √5
8esen θ
2=s5−√5
8.(8)
Demonstração. Dividiremos a prova em três itens: (I) θ,(II) θ
2e(III) 2θ.
(I) Aplicando o Lema 3.5, com
n
= 5, obtemos que as raízes da equação
z5
= 1
,
são 1
, z, z2, z3, z4
,
com
z= cos 2π
5+isen 2π
5
e
1+z+z2+z3+z4= 0.(9)
Como
z
= 0, dividindo ambos os membros da equação
(9)
por
z2
, reagrupando os termos,
obtemos 1
z2+z2+1
z+z+ 1 = 0.(10)
Note que
1
z+z2=1
z2+ 21
zz+z2=1
z2+z2+ 2
e, portanto, 1
z2+z2=1
z+z2
−2.
Substituindo a igualdade acima em (10), obtemos
1
z+z2+1
z+z−1=0.(11)
Pela Fórmula de De Moivre para potências (Lema 3.6), temos que
1
z= cos 2π
5−isen 2π
5.
Utilizando este fato, segue que
1
z+z2=cos 2π
5−isen 2π
5+cos 2π
5+isen 2π
52=2 cos 2π
52= 4 cos22π
5(12)
e1
z+z=cos 2π
5−isen 2π
5+cos 2π
5+isen 2π
5= 2 cos 2π
5.(13)
ReTMAT 8
Substituindo (12)e(13) em (11), obtemos
4 cos22π
5+ 2 cos 2π
5−1=0.
Seja x= cos 2π
5. Então xsatisfaz a equação quadrática
4x2+ 2x−1 = 0.
As soluções dessa equação são dadas por
x=−1±√5
4.
Em particular, concluímos que
cos 2π
5=−1 + √5
4,
pois
cos 2π
5>
0, o que mostra
(6)1
. Além disso, como, pelo Lema 3.3,
√5
é um número
irracional, podemos concluir, pelo Lema 3.4, que
cos 2π
5
=
−1+√5
4
é um número irracional,
provando assim (3)1.
No que segue, vamos mostrar que sen 2π
5∈R−Qe
sen 2π
5=q10 + 2√5
4.
De fato, pela relação fundamental da trigonometria, obtemos
sen22π
5= 1 −cos22π
5= 1 − −1 + √5
4!2
= 1 − 5−2√5+1
16 !=10 + 2√5
16 ,
o que implica que
sen 2π
5=q10 + 2√5
4,
uma vez que 2π
5pertence ao primeiro quadrante, e isso prova (6)2.
Suponhamos agora que sen 2π
5∈Q. Assim, sen 2π
5=a
b, com a, b ∈Zeb= 0, ou seja,
q10 + 2√5
4=a
b.
Portanto,
10 + 2√5
16 =a2
b2,
do qual decorre que √5 = 16a2−10b2
2b2.
Como 16
a2−
10
b2,
2
b2∈Q
, segue que
16a2−10b2
2b2∈Q
, o que é um absurdo, pois, pelo Lema 3.3,
√5∈R−Q. Portanto, sen 2π
5∈R−Q, o que mostra (3)2.
(II) Agora vamos calcular cos π
5. Para ângulos no primeiro quadrante, vale a identidade
cos θ
2=s1 + cos θ
2.
ReTMAT 9
Tomando θ=2π
5, obtemos
cos π
5=v
u
u
t1 + cos 2π
5
2=v
u
u
t1 + −1+√5
4
2=s3 + √5
8.
Isso prova a igualdade (8)1.
Mostremos que cos π
5é irracional. Suponhamos, por absurdo, que cos π
5=a
b, com a, b ∈Z
eb= 0. Assim,
s3 + √5
8=a
b
e, portanto,
3 + √5
8=a2
b2,
donde concluímos que √5 = 8a2−3b2
b2.
Como 8
a2−
3
b2, b2∈Q
, segue que
8a2−3b2
b2∈Q
, o que é um absurdo, pois
√5∈R−Q
.
Portanto, cos π
5é irracional, o que mostra (5)1.
Como θ
2é um ângulo do primeiro quadrante, temos que
sen θ
2=s1−cos θ
2=v
u
u
t1−−1+√5
4
2=s5−√5
8,
o que prova (8)2.
De maneira análoga ao que foi feito para mostrar que
sen 2π
5
e
cos π
5
são números irracionais,
mostra-se que sen π
5também é irracional, ficando, assim, (5)2demonstrado.
(III) Usando o fato que cos 2θ= 2 cos2θ−1, obtemos que
cos 2θ= 2 −1 + √5
4!2
−1 = −1−√5
4,
o que mostra (7)1e, como aplicação imediata dos Lemas 3.3 e3.4.
Agora usando o fato que sen22θ= 1 −cos22θe que sen 2θ > 0, obtemos que
sen 2θ=v
u
u
t1− −1−√5
4!2
=q10 −2√5
4,
o que mostra (7)2.
Argumentando por contradição, de forma similar ao que foi feito anteriormente, mostramos
que sen 2θ∈R−Q,mostrando, assim, (4)2.
Observação 4.2.Com o auxílio do software GeoGebra [
12
] e utilizando o fato de que
R2
e
C
são isomorfos, podemos construir a representação geométrica das raízes da equação
z5
= 1
(ver Figuras 5e6), interpretando números complexos como pontos no plano. Essa construção
se baseia no resultado de que as raízes
n
-ésimas da unidade correspondem aos vértices de um
polígono regular de nlados inscrito na circunferência unitária (ver [17]).
ReTMAT 10
Figura 5: Polígono regular inscrito.
Figura 6: Polígono regular inscrito com ângulo cen-
tral.
Fonte: Elaborada pelos autores no GeoGebra.
Observação 4.3.Sabendo que
cos 2π
5,sen 2π
5,cos π
5,sen π
5,cos 4π
5,sen 4π
5∈R−Q
, podemos
concluir, pelo Lema 3.4, que, para todos α, β ∈Qcom α= 0,
•β+αcos 2π
5∈R−Q,
•β+αsen 2π
5∈R−Q,
•β+αcos π
5∈R−Q,
•β+αsen π
5∈R−Q,
•β+αcos 4π
5∈R−Q,
•β+αsen 4π
5∈R−Q.
As famílias da Observação 4.3 podem ser acompanhadas na animação elaborada pelos
autores em Manim
1
, na qual os seis valores trigonométricos da Proposição 4.1 são denotados
por
x1, . . . , x6
e transformados em
yj
=
β
+
αxj
. O vídeo apresenta duas etapas, primeiro
mantém α= 1 e varia β∈Q, depois fixa β= 0 e varia α∈Q\ {0}.
Figura 7: Acúmulo de valores na reta real ao variar β, com α= 1.
(a) (b) (c)
Fonte: Quadros da animação elaborada pelos autores em Manim.
1Manim (Mathematical Animation Engine), biblioteca de animação matemática em Python.
ReTMAT 11
Na Figura 7, a reta superior registra as escolhas de
β
, enquanto a inferior acumula os
resultados
yj
=
β
+
xj
, conservando as marcações anteriores. O quadro (a) mostra o caso
inicial
β
= 0, em (b), aparece a escolha
β
=
3
4
, junto dos resultados já obtidos, em (c), vê-se a
amostra ao fim dessa etapa, com β=n
4para n=−8,−7,...,8.
Figura 8: Acúmulo de valores na reta real ao variar α, com β= 0.
(a) (b) (c)
Fonte: Quadros da animação elaborada pelos autores em Manim.
Na Figura 8, mantém-se
β
= 0, de modo que a reta superior passa a indicar os valores de
α
e a inferior acumula os produtos
yj
=
αxj
. Os quadros mostram o caso inicial
α
= 1, uma
etapa intermediária e a amostra final.
Nas duas etapas, as cores identificam as expressões trigonométricas, e o marcador em anel
destaca a coincidência
x4
=
x6
, pois
sen
(2
θ
) =
sen
(
θ
2
)para
θ
=
2π
5
. A irracionalidade dos
resultados é garantida pelo Lema 3.4, sob as hipóteses da Observação 4.3, enquanto os quadros
representam uma amostra finita por coordenadas aproximadas. O vídeo completo pode ser
acessado pelo QR Code da Figura 9e retomado nas atividades da Seção 5.
Figura 9: QR Code para a animação dos números irracionais na reta real.
Fonte: Elaborado pelos autores.
A partir desses valores trigonométricos, a Observação 4.3 fornece famílias infinitas de
números irracionais por transformações com coeficientes racionais.
Em [
19
, Theorem 6.16] é apresentado um resultado geral do Lema 3.4 e da Observação 4.3.
No entanto, a demonstração apresentada aqui, neste contexto, utiliza argumentos completa-
mente distintos e de natureza mais elementar e, além disso, apresentamos a forma do número
irracional, o que não é mostrado em [
19
] . O teorema mencionado do artigo [
19
] é o seguinte:
Teorema 4.4. Se
θ
=
rπ
, com
r∈Q
, então
cos θ
,
sen θ
e
tan θ
são números irracionais,
exceto nos casos em que tan θé indefinido, e nas exceções
cos θ= 0,±1
2,±1; sen θ= 0,±1
2,±1; tan θ= 0,±1.
Note que, se
θ
=
π
4
, temos que
cos θ
=
√2
2∈R−Q,
mas
cos
2
θ∈Q
, pois
cos
2
θ
= 0.
Esta observação mostra que, se
cos θ∈R−Q
, não podemos concluir que
cos
2
θ∈R−Q
.
ReTMAT 12
Mais geralmente, isto pode ser observado no Teorema 4.4 acima. Em [
18
], prova-se que, se
cos 2θ∈R−Q, então cos θ∈R−Q.
Motivados pelo Lema 3.4, a seguir enunciaremos e provaremos o principal resultado deste
artigo.
Teorema 4.5. Sejam
a, b ∈Q
, com
a, b
= 0, e
p
um número primo tais que
a+b√p<
1.
Se θ∈Ré tal que cos θ=a+b√p, então
cos θ, sen θ∈R−Q,(14)
cos 2θ∈R−Q,esen 2θ∈R−Qse a2+pb2=1
2,(15)
cos θ
2,sen θ
2∈R−Q.(16)
Além disso,
sen θ=±q(1 −a2−pb2)−2ab√p, (17)
cos 2θ= (2a2+ 2pb2−1) + 4ab√pesen 2θ=±2(a+b√p)q(1 −a2−pb2)−2ab√p, (18)
cos θ
2=±s(1+a) + b√p
2esen θ
2=±s(1 −a)−b√p
2.(19)
Demonstração.
Com o objetivo de promover a clareza e a organização, iremos proceder à
subdivisão da prova em seis itens.
(a) Pelo Lema 3.3, obtemos que
√p
é irracional e pelo Lema 3.4, resulta que
a
+
b√p
é irracional.
Portanto, cos θ=a+b√pé irracional.
(b) Vamos supor que
sen θ
seja racional. Assim, existe
c∈Q
tal que
sen θ
=
c
. Da relação
fundamental da trigonometria, resulta que c= sen θ=±√1−cos2θ. Logo,
c2= 1 −(a+b√p)2,
de onde decorre que
√p=−c2+(1−a2−pb2)
2ab .(20)
Como
−c2+(1−a2−pb2)
2ab ∈Q,
resulta de (20) que
√p∈Q,
o que contraria o Lema 3.3. Portanto,
sen θé um número irracional.
(c) Vamos supor que cos 2θ=c, com c∈Q. Assim,
c= 2 cos2θ−1 = 2(a+b√p)2−1
e, portanto,
√p=c−(−1 + 2a2+ 2pb2)
4ab .(21)
Como
c−(−1+2a2+2pb2)
4ab ∈Q
e
√p∈R−Q
, temos uma contradição em
(21)
. Portanto,
cos
2
θ
é
irracional.
(d) Suponhamos que sen 2θ=c, com c∈Q. Recorde que pelo item (a),cos θ= 0.Assim,
c= sen 2θ= 2 sen θcos θ,
ou seja, c
cos θ= 2 sen θ
ReTMAT 13
e, consequentemente,
c2
cos2θ= 4(1 −cos2θ).
Assim,
c2
(a+b√p)2= 4 −4(a+b√p)2,
de onde decorre que
c2+ 4(a2+pb2)2−(4a2+ 4pb2) + 16a2b2p= 8ab(1 −2(a2+pb2))√p.
Como a2+pb2=1
2, segue que
c2+ 4(a2+pb2)2−(4a2+ 4pb2) + 16a2b2p
8ab(1 −2(a2+pb2)) =√p. (22)
Como
c2+4(a2+pb2)2−(4a2+4pb2)+16a2b2p
8ab(1−2(a2+pb2)) ∈Q
e
√p∈R−Q
, de
(22)
obtemos uma contradição.
Portanto, sen 2θé irracional.
(e) Suponhamos que
cos θ
2
seja um número racional. Assim, existe
c∈Q
, com
c
=
cos θ
2
. Logo,
c= cos θ
2=±s1 + cos θ
2⇒c2=1 + cos θ
2⇒2c2−1 = cos θ
⇒2c2−1=a+b√p⇒√p=2c2−(1 + a)
b,
o que é um absurdo, uma vez que 2c2−(1+a)
b∈Qe√p∈R−Q. Portanto, cos θ
2é irracional.
Como cos θ
2=±q1+cos θ
2, obtemos
cos θ
2=±s(1+a) + b√p
2.
(f) Suponhamos que
sen θ
2
seja um número racional. Assim, existe
c∈Q
com
c
=
sen θ
2
.
Portanto,
c= sen θ
2=±s1−cos θ
2⇒c2=1−cos θ
2⇒2c2−1=−cos θ
⇒1−2c2=a+b√p⇒√p=(1 −a)−2c2
b,
o que é um absurdo, pois (1−a)−2c2
b∈Qe√p∈R−Q. Portanto, sen θ
2é irracional.
Como sen θ
2=±q1−cos θ
2, obtemos
sen θ
2=±s(1 −a)−b√p
2.(23)
Observação 4.6.Se
cos θ
=
a
+
b√p
, com
a, b ∈Q, a, b
= 0, e
p
é um número primo, então, pelo
Teorema 4.5 e pelo Lema 3.4, para α, β ∈Q,α= 0, resulta
•β+αcos θ∈R−Q,
ReTMAT 14
•β+αsen θ∈R−Q,
•β+αcos 2θ∈R−Q,
•β+αsen 2θ∈R−Q, se a2+pb2=1
2,
•β+αcos θ
2∈R−Q,
•β+αsen θ
2∈R−Q.
Observação 4.7.Como uma consequência direta do Teorema 4.5, obtemos uma outra demons-
tração da Proposição 4.1. De fato, como a função
f
: [0
, π
]
−→
[
−
1
,
1]
, f
(
θ
) =
cos θ
, é bijetora,
dado α=√5−1
4∈[−1,1], existe um único θ∈[0, π]tal que
f(θ) = cos θ=α=√5−1
4.
Pela injetividade de
f
, resulta que
θ
=
2π
5
, pois
cos θ
=
cos 2π
5
=
√5−1
4
. Como
√5−1
4
=
−1
4
+
1
4√5
,
os resultados estabelecidos na Proposição 4.1 seguem do Teorema 4.5.
Observação 4.8.O Teorema 4.5 pode ser facilmente generalizado. De fato, devido a irracionali-
dade das raízes quadradas inexatas, observando a demonstração do Teorema 4.5, vemos que
podemos substituir √ppor √m, com m∈N, desde que √mnão seja exata.
Mais geralmente (veja [
19
, Corollary 6.15]), sabemos que, se
n
√m
não é exata, com
n∈N
e
m∈Z
, então
n
√m
é irracional. Portanto, usando expansão binomial, podemos generalizar
ainda mais o Teorema 4.5.
5 Proposta de uma sequência didática
A sequência retoma o estudo de números como
√2
e
√5
em situações de construção e
comparação de comprimentos, a partir das quais se chega aos valores irracionais de seno e
cosseno apresentados na Proposição 4.1.
O GeoGebra será utilizado nas construções e na exploração da circunferência trigonométrica,
permitindo relacionar ângulos, segmentos e coordenadas, enquanto o estudo da irracionalidade
se apoia nas expressões exatas e na argumentação algébrica. As animações elaboradas pelos
autores em Manim serão apresentadas como vídeos prontos, e serão retomadas nos momentos
em que ajudam a discutir as relações estudadas.
A organização se apoia na concepção de sequência didática de Zabala [
23
], entendida como
um conjunto de atividades articuladas em torno de objetivos de aprendizagem. Cada encontro
retoma elementos do anterior e introduz uma nova questão, conduzindo das construções na reta
às expressões trigonométricas e, depois, às transformações que produzem outros irracionais.
Público e condições de aplicação
A proposta destina-se ao Ensino Médio e pressupõe conhecimentos de números reais, radicais,
equações quadráticas, Teorema de Pitágoras, semelhança de triângulos e razões trigonométricas.
As identidades de ângulo duplo e de meio ângulo devem ser retomadas pelo professor quando
necessário.
Prevê-se o trabalho em duplas, com caderno, régua, compasso e acesso ao GeoGebra.
Havendo apenas um computador com projetor, o professor pode conduzir as construções a
partir das sugestões dos estudantes, que registram individualmente suas previsões e cálculos.
Na falta de recursos digitais, as construções podem ser adaptadas para régua e compasso,
ReTMAT 15
e os quadros das animações reproduzidos em material impresso, o uso das ferramentas do
GeoGebra pode ser apresentado durante as atividades.
As tarefas iniciais retomam as habilidades EF09MA01 e EF09MA02 da BNCC [
3
], relacio-
nadas a comprimentos irracionais e à sua localização aproximada na reta. Os problemas com
triângulos também se relacionam à habilidade EM13MAT308, pelo uso de relações métricas e
semelhança. A articulação entre investigação, representação e demonstração orienta o uso dos
recursos digitais ao longo da proposta.
Objetos do conhecimento
•números racionais e irracionais, suas representações e sua localização na reta real;
•Teorema de Pitágoras e semelhança de triângulos;
•
circunferência trigonométrica, pentágono regular e valores de seno e cosseno associados a
θ=2π
5;
•
representação geométrica das raízes quintas da unidade, como aprofundamento para
turmas que já conhecem números complexos;
•transformações β+αx, com coeficientes racionais e α= 0;
•distinção entre observação, conjectura e justificação matemática.
Objetivo geral
Investigar como construções geométricas e expressões exatas permitem obter e justificar
números irracionais, articulando o trabalho no GeoGebra à análise algébrica e à interpretação
das animações em Manim.
Objetivos específicos
Ao final da sequência, espera-se que os estudantes sejam capazes de:
•
construir e localizar
√2
,
√5
e outras raízes quadradas na reta real, explicando as
propriedades utilizadas;
•
distinguir uma expressão exata de uma aproximação decimal e reconhecer os limites da
representação na tela;
•relacionar o pentágono regular aos ângulos θ=2π
5,2θeθ
2, identificando seno e cosseno
como coordenadas;
•
justificar a irracionalidade dos valores estudados com os resultados da Proposição 4.1 e
dos Lemas 3.3 e3.4;
•
calcular transformações com coeficientes racionais e explicar por que a condição
α
= 0 é
necessária;
•
formular conjecturas, apresentar argumentos e relacionar as transformações algébricas às
duas etapas da animação das retas.
ReTMAT 16
Etapas de desenvolvimento
O planejamento compreende cinco encontros de aproximadamente 45 a 50 minutos. Esse
tempo é uma referência, e o terceiro encontro pode ser desdobrado se a turma precisar retomar
semelhança ou identidades trigonométricas.
Primeiro encontro
Antes de apresentar o problema, o professor pede que os estudantes classifiquem
1
3
,0
,
333
. . .
,
1
,
414,
√2
e
√9
como racionais ou irracionais, justificando suas escolhas. Também solicita um
esboço de como poderiam localizar
√2
na reta. As atividades iniciais exploram propriedades
elementares da geometria plana, particularmente o Teorema de Pitágoras e a construção de
segmentos, temas abordados em [
11
]. As respostas ficam registradas para comparação no
último encontro.
Atividade 5.1. José está desenhando um canteiro triangular para a horta da escola. No
projeto, dois lados perpendiculares medem 1 m cada. Qual é o comprimento do terceiro lado?
Represente o projeto no GeoGebra e encontre uma maneira de transportar esse comprimento
para uma reta graduada em metros, sem substituir a raiz por um decimal.
Encaminhamento. Tomando uma unidade do desenho como 1 m, marcam-se
A
= (0
,
0),
B
= (1
,
0) e
H
= (0
,
1). O triângulo
ABH
é retângulo em
A
e
BH2
= 1
2
+ 1
2
= 2; logo, o
terceiro lado mede
√2
m. Uma circunferência de centro
A
e raio igual ao comprimento de
BH
encontra o semieixo positivo no ponto
K
= (
√2,
0). O professor pede que as duplas expliquem
por que essa construção conserva o comprimento.
Atividade 5.2. José modifica o projeto, em que um cateto continua medindo 1 m, mas o
outro passa a medir 2 m. Determine o comprimento do terceiro lado e represente-o na mesma
reta. Ao registrar uma aproximação dessa medida, João escreve no caderno
√5
= 2
,
236. A
igualdade está correta? Explique como essa anotação deveria ser feita.
Encaminhamento. Em uma nova construção, use
A
= (0
,
0),
B
= (0
,
1) e
C
= (2
,
0). Pelo
Teorema de Pitágoras,
BC2
= 1
2
+ 2
2
= 5, de modo que o terceiro lado mede
√5
m. A
circunferência de centro
A
e raio
BC
determina
E
= (
√5,
0) no semieixo positivo. As Figuras
10 e11 representam as duas construções.
Figura 10: Construção de √2na reta real. Figura 11: Construção de √5na reta real.
Fonte: Elaborado pelos autores.
ReTMAT 17
Para examinar a anotação de João, as duplas calculam
2,2362= 4,999696 <5<5,004169 = 2,2372.
Como os extremos são positivos, 2
,
236
<√5<
2
,
237. Portanto, 2
,
236 é uma aproximação,
com erro absoluto menor que 0
,
001, e a escrita adequada é
√5≈
2
,
236. A irracionalidade de
√5é justificada pelo Lema 3.3.
Segundo encontro
Atividade 5.3. Para um painel da feira de Matemática, José, João e seus colegas querem
distribuir cinco marcas igualmente espaçadas sobre uma circunferência. No GeoGebra, adote o
centro
O
= (0
,
0), raio 1e a primeira marca em
A
= (1
,
0). Qual deve ser o ângulo central
entre marcas consecutivas? Construa o pentágono regular e identifique as coordenadas das
marcas correspondentes a θ=2π
5e2θ.
O ângulo central é
360◦
5
= 72
◦
=
2π
5
. Para construir o pentágono, os alunos podem rotacionar
A
em 72
◦
em torno de
O
, no sentido anti-horário, obtendo
B
, e usar a ferramenta de polígono
regular com os vértices
A
,
B
e cinco lados. Também podem repetir a rotação até obter os
cinco vértices.
Atividade 5.4. Marque também o ponto da circunferência correspondente a
θ
2
= 36
◦
, por
uma rotação de
A
em torno de
O
. Para os ângulos 36
◦
,72
◦
e144
◦
, trace as projeções dos
pontos sobre os eixos e registre as aproximações do seno e do cosseno. Antes de consultar as
medidas, preveja os sinais dessas coordenadas. Há valores que parecem coincidir? Explique o
que a figura sugere.
Na circunferência unitária, o ponto de ângulo
t
tem coordenadas (
cos t, sen t
). Os pontos
de 36
◦
e72
◦
estão no primeiro quadrante; o de 144
◦
, no segundo, tem cosseno negativo e
seno positivo. Nas turmas que já conhecem números complexos, os cinco vértices podem ser
identificados com as raízes de z5= 1, como nas Figuras 5e6.
As aproximações ficam em uma tabela no caderno para serem comparadas com as expressões
exatas no encontro seguinte. Uma coincidência merece atenção:
sen
144
◦
=
sen
36
◦
, pois os
ângulos são suplementares, assim, as seis expressões trigonométricas estudadas correspondem
a cinco números distintos.
Terceiro encontro
O professor retoma a questão deixada, como determinar as coordenadas sem copiar os
decimais do GeoGebra? Para obter
cos
72
◦
, pode recorrer à construção da Figura 2e à
animação do pentágono, indicada na Figura 3.
Na Figura 2,
F
é a interseção de
AD
com
CE
. A análise dos ângulos e dos triângulos
isósceles fornece
AF
=
CF
=
CD
= 1 e
ACD ∼CDF
. Chamando a diagonal de Φ, tem-se
DF = Φ −1eΦ
1=1
Φ−1,Φ2−Φ−1 = 0,Φ = 1 + √5
2.
Escolhe-se a solução positiva por se tratar de um comprimento. Se
M
é o ponto médio de
CD
,
o triângulo ACM é retângulo em M,CM =1
2e\
ACM = 72◦. Logo,
cos 72◦=CM
AC =1
2Φ =1
1 + √5=√5−1
4.
ReTMAT 18
O vídeo pode ser pausado para que os estudantes expliquem a semelhança e a escolha da raiz.
Se não for exibido, a mesma discussão pode ser conduzida com a figura e a construção no
GeoGebra.
Atividade 5.5. Partindo de
cos θ
=
√5−1
4
, com
θ
= 72
◦
, obtenha os demais valores da
Proposição 4.1. Use a relação
sen2θ
+
cos2θ
= 1, as identidades de ângulo duplo e as de meio
ângulo. Compare os resultados com a tabela do encontro anterior e justifique a escolha dos
sinais das raízes.
O professor pode distribuir os cálculos entre as duplas e organizar a conferência coletiva.
Para 2
θ
, usam-se
cos
2
θ
= 2
cos2θ−
1e
sen
2
θ
= 2
sen θcos θ
; para
θ
2
, usam-se
cos2
(
θ
2
) =
1+cos θ
2
esen2(θ
2) = 1−cos θ
2. Os valores a conferir são
Ângulo Cosseno Seno
θ= 72◦√5−1
4q10 + 2√5
4
2θ= 144◦−1 + √5
4q10 −2√5
4
θ
2= 36◦s3 + √5
8s5−√5
8
Atividade 5.6. José registra uma aproximação decimal de
cos
72
◦
obtida no GeoGebra,
enquanto João escreve
cos
72
◦
=
√5−1
4
. O que cada representação informa sobre esse número?
Justifique sua irracionalidade a partir de 4
cos
72
◦
+ 1 =
√5
e explique por que a medida
exibida na tela não basta para essa conclusão. Em seguida, escolha um dos senos da tabela e
examine seu quadrado para justificar sua irracionalidade.
Se
cos
72
◦
fosse racional,
√5
também seria racional. Para os senos, os quadrados são
5+√5
8
ou
5−√5
8
, ambos irracionais pelo Lema 3.4. Como o quadrado de um racional é racional, os
senos não podem ser racionais. O mesmo raciocínio se aplica a
cos
36
◦
, cujo quadrado é
3+√5
8
;
para cos 144◦, usa-se diretamente sua expressão afim em √5.
Quarto encontro
Atividade 5.7. Para ampliar o painel, a turma decide obter novos exemplos a partir de
x
=
cos
72
◦
=
√5−1
4
. José sugere dobrar esse número, João propõe somar 1, e os demais colegas
sugerem subtraí-lo de 2ou multiplicá-lo por 3
2antes de subtrair 1. Calcule, na forma exata,
2x, 1+x, 2−x, −1 + 3
2x.
Escreva cada expressão como
β
+
αx
, identifique os coeficientes racionais e justifique a
classificação do resultado.
Após comparar as respostas, o professor pode registrar os resultados
√5−1
2,3 + √5
4,9−√5
4,3√5−11
8,
correspondentes, nessa ordem, aos pares (α, β) = (2,0),(1,1),(−1,2),(3
2,−1).
ReTMAT 19
Atividade 5.8. Mantendo
x
irracional e
β
racional, compare
β
+ 2
x
,
β−x
e
β
+
x
2
com
β
+ 0
x
. Formule uma regra para a natureza de
y
=
β
+
αx
, com
α, β ∈Q
, e explique por que
é necessário separar o caso α= 0.
Quando α= 0, o resultado é o racional β. Quando α= 0, supor yracional levaria a
x=y−β
α∈Q,
contradizendo a hipótese sobre
x
. Essa é a justificativa da propriedade usada na Observação
4.3, a partir do Lema 3.4.
Depois da investigação algébrica, o professor retoma a animação apresentada após a
Observação 4.3, acessível pelo QR Code da Figura 9, e solicita previsões antes de cada trecho.
Na primeira etapa, os estudantes comparam as translações obtidas ao manter
α
= 1 e variar
β
,
como nos quadros da Figura 7; na segunda, examinam o efeito de variar
α
= 0 com
β
= 0,
conforme a Figura 8.
Atividade 5.9. Identifique no vídeo os valores iniciais, os parâmetros e os pontos produzidos
pelas transformações. Relacione o deslocamento à parcela
β
e, quando
β
= 0, interprete o
efeito do sinal e do módulo de
α
. Explique por que aparecem duas expressões associadas ao
mesmo ponto inicial e qual argumento garante a irracionalidade dos resultados.
Os alunos devem relacionar a coincidência à igualdade
sen
144
◦
=
sen
36
◦
. Com
β
= 0, o
módulo de
α
multiplica a distância à origem, se
α <
0, o ponto também passa para o lado oposto
da reta. É importante salientar que a animação permite acompanhar essas transformações,
mas exibe uma amostra finita, desenhada com aproximações.
Quinto encontro
O último encontro começa pela revisão das respostas diagnósticas. Cada estudante conserva
a resposta inicial e escreve ao lado o que manteria ou corrigiria e por quê. Em seguida, resolve
individualmente as questões abaixo.
Atividade 5.10.
1.
No projeto do segundo canteiro de José, por que
√5
e2
,
236 não podem ser ligados por
um sinal de igualdade? Encontre dois racionais entre os quais esteja
√5
e confira sua
resposta pelos quadrados desses números.
2.
Para
x
=
√5−1
4
,
α
=
3
2
e
β
=
−
1, determine
y
=
β
+
αx
na forma exata e justifique sua
irracionalidade. Explique o que mudaria se αfosse zero.
3.
Escolha outro valor da Proposição 4.1 e proponha coeficientes racionais
α
= 0 e
β
.
Apresente a expressão exata de β+αx e justifique por que ela é irracional.
4.
Cite uma relação percebida no GeoGebra ou na animação e explique qual argumento
matemático permite confirmá-la.
Avaliação
A avaliação leva em conta os registros feitos pelas duplas, as construções realizadas,
os cálculos desenvolvidos e as respostas individuais. Ao longo das atividades, o professor
acompanha se os estudantes conseguem justificar por que um comprimento é preservado quando
ReTMAT 20
é transportado para a reta, identificar corretamente os sinais dos valores trigonométricos e
compreender a diferença entre uma medida aproximada e uma expressão exata.
Nas atividades que envolvem transformações algébricas, também é importante observar se
os estudantes utilizam corretamente as hipóteses de racionalidade dos coeficientes e a condição
α= 0, evitando conclusões baseadas apenas na aparência do resultado.
Ao final, as respostas são comparadas com o diagnóstico inicial, permitindo identificar os
avanços dos estudantes e os pontos que ainda precisam ser retomados.
6 Considerações finais
A ênfase dada ao ensino dos números irracionais nas etapas de ensino fundamental e médio
é limitada. Na educação básica, os números irracionais mais frequentemente encontrados são
π
e
√p
, em que
p
é um número primo. No entanto, é comum encontrar em grande parte dos
livros didáticos a afirmação de que
√2
e
π
são números irracionais, sem que seja apresentada
qualquer justificativa plausível para tal afirmação.
Outro número irracional importante que surge em vários fenômenos naturais é o número
e
,
a base do logaritmo natural. Utilizando a expansão da série de Taylor
ex
=
P∞
n=1 xn
n!, x ∈R
e
considerando x= 1, é possível obter aproximações satisfatórias para e, como e≈2,718.
Ao longo de sua história, o ensino da matemática tem passado por significativas transfor-
mações, levando os professores dessa disciplina a buscar inovações e dar sentido ao ensino
de matemática. Nesse contexto, com o objetivo de suprir essa carência e de fornecer uma
contribuição na formação de professores de matemática e áreas relacionadas, bem como dos
estudantes da educação básica e dos cursos de licenciatura em matemática, optamos por abor-
dar o tema neste artigo. Aqui, utilizando apenas ferramentas simples, foram obtidos infinitos
valores irracionais trigonométricos, conforme estabelecido no Teorema 4.5 e na Proposição 4.1.
Esperamos que este trabalho possa ser uma fonte de apoio para estudantes e professores de
matemática e áreas afins, contribuindo assim para sua formação e enriquecendo o conhecimento
dos apaixonados por essa disciplina.
Financiamento
O primeiro e o segundo autores receberam apoio da Fundação de Apoio à Pesquisa do
Estado da Paraíba (FAPESQ), no âmbito do Termo de Outorga nº2457/2026.
Referências
[1]
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