Revista Tocantinense de Matematica
Vol. 1, n. 1, 2026, p. 1–17
DOI: 10.20873/retmat.uft.v1n1.2026.23172
Recebido: 28 de maio 2026
Aceito: 02 de junho 2026
A generalização da forma matricial híbrida das sequências de
segunda ordem
Milena Carolina dos Santos Mangueira1,*, Renata Passos Machado Vieira2, Francisco Regis
Vieira Alves3, Paula Maria Machado Cruz Catarino4, Eudes Antonio da Costa5
Resumo
Com base no conjunto numérico dos números híbridos, este artigo explora sua aplicação
em sequências lineares e recursivas, com ênfase nas sequências de segunda ordem, como Fi-
bonacci, Lucas, Pell, Mersenne, Repunidade, Jacobsthal e Oresme. O objetivo é apresentar
as formas matriciais híbridas dessas sequências, abordando o cálculo de seus determinantes
e a identidade de Cassini associada a eles, além de generalizar essas formas matriciais
para índices inteiros não positivos. Embora a literatura já trate da matriz híbrida dessas
sequências, suas formas matriciais ainda não foram devidamente abordadas. Para futuros
trabalhos, propõe-se investigar possíveis aplicações desse conteúdo em outras áreas.
Palavras-chave: números híbridos; matrizes híbridas; sequências lineares recursivas
MSC 2020: 11B37; 11B39
Abstract
Based on the numerical set of hybrid numbers, this paper explores their application in linear
and recursive sequences, with an emphasis on second-order sequences such as Fibonacci,
Lucas, Pell, Mersenne, Repunit, Jacobsthal, and Oresme. The aim is to present the hybrid
matrix forms of these sequences, addressing the calculation of their determinants and
the Cassini identity associated with them, as well as generalizing these matrix forms for
non-positive integer indices. Although the literature already discusses the hybrid matrix of
these sequences, their matrix forms have not yet been adequately addressed. For future
work, the application of this content in other areas will be investigated.
Keywords: hybrid numbers; hybrid matrices; recursive linear sequences
Sumário
1 Introdução 2
2 Sequências de segunda ordem 3
1
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Estado do Ceará (IFCE), Campus Fortaleza,
Fortaleza, Brasil. E-mail:
milenacarolina24@gmail.com
. ORCID: 0000-0002-4446-155X.
*
Autor corres-
pondente.
2
Secretaria da Educação do estado do Ceará, Ceará, Brasil. E-mail:
re.passosm@gmail.com
.
ORCID: 0000-0002-1966-7097.
3
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Estado do
Ceará (IFCE), Campus Fortaleza, Fortaleza, Brasi. E-mail:
fregis@ifce.edu.br
. ORCID: 0000-0003-
3710-1561.
4
Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro (UTAD), Vila Real, Portugal. E-mail:
pcatarino23@gmail.com
. ORCID: 0000-0001-6917-5093.
5
Universidade Federal do Tocantins (UFT),
Tocantins, Brasil. E-mail: eudes@uft.edu.br. ORCID: 0000-0001-6684-9961.
ReTMAT 2
3 Forma matricial híbrida de uma sequência 4
3.1 Sequência de Fibonacci ............................... 4
3.2 Sequência de Lucas .................................. 6
3.3 Sequência de Pell ................................... 7
3.4 Sequência de Mersenne ................................ 9
3.5 Sequência Repunidade ................................ 11
3.6 Sequência de Jacobsthal ............................... 12
3.7 Sequência de Oresme ................................. 14
4 Conclusão 16
1 Introdução
As sequências matemáticas são sucessões infinitas de termos, algumas das quais geradas
por uma recorrência linear, conhecida como fórmula de recorrência, que permite determinar
um termo da sequência a partir de seus antecessores imediatos. As sequências são classificadas
de acordo com a ordem dessa recorrência, podendo ser de primeira, segunda, terceira ordem,
entre outras. O estudo das sequências abre espaço para a aplicação desse conteúdo em diversas
áreas, como física, biologia, engenharia, artes, entre outras.
Há um vasto estudo sobre sequências matemáticas, com destaque para a sequência de
Fibonacci. Na literatura e na história da Matemática, são numerosos os trabalhos que
exploram a generalização, extensão, complexificação e hipercomplexificação dessas sequências.
Um exemplo disso é a hibridização de sequências, um processo que associa dois domínios
matemáticos: as sequências numéricas e os números híbridos.
O conjunto dos números híbridos foi apresentado inicialmente por [
12
], no qual realizou a
junção de três sistemas numéricos: complexo, hiperbólico e dual. Disto isto, apresentamos a
definição de número híbrido.
Definição 1.1. Um número híbrido é dado por:
K={z=a+bi +cε +dh :a, b, c, d ∈R, i2=−1, ε2= 0, h2= 1, ih =−hi =ε+i}
O conjunto
K
é um espaço vetorial com base
{
1
, i, ε, h}
e coeficientes em um corpo, por
exemplo aqui, consideramos o corpo dos reais. Além da adição entre números híbridos e a
multiplicação escalar de um real por um número híbrido, temos também a multiplicação entre
os elementos híbridos, conforme tabela de multiplicação das unidades híbridas, veja Tabela 1).
·1i ε h
1 1 i ε h
i i −1 1 −h ε +i
ε ε 1+h0−ε
h h −ε−i ε 1
Tabela 1: Tabela de multiplicação para um número híbrido.
Assim (
K,
+
,·
)é um domínio de integridade não comutativo, ou seja, é possível efetuar
a soma e subtração entre dois números híbridos, multiplicação por escalar e o produto entre
dois números híbridos. Em destaque, a multiplicação entre dois números híbridos é realizada
distribuindo-se os termos à direita, preservando a ordem de multiplicação das unidades.
Existem inúmeros trabalhos utilizam números híbridos para ampliar o estudo de uma
sequência numérica, no sentido de estender a sequência, estudando sua forma linear e a
ReTMAT 3
recorrência recursiva. São exemplos desse processo de hibridização e extensão de uma sequência:
[4], [5], [10], [17], [18] e [20].
Não obstante, a matriz geradora de uma sequência permite obter os termos de uma
sequência sem ser necessário obter os termos iniciais. Dessa forma, este trabalho, têm como
objetivo apresentar as matrizes geradoras híbridas de recorrência de segunda ordem.
2 Sequências de segunda ordem
As sequências dadas por uma recorrência de segunda ordem, com coeficientes constantes,
tem a forma
xn+2
+
pxn+1
+
qxn
= 0, com
q
= 0. Para cada sequência de segunda ordem, é
possível associá-la a uma equação do segundo grau da forma x2+px +q= 0 [7].
Diante disso, tem-se a sequência de Fibonacci, foi criada pelo matemático Leonardo
Pisano (1180- 1250) conhecido como Fibonacci ou "filho de Bonaccio", em que apresenta a
sua recorrência dada por
Fn
=
Fn−1
+
Fn−2, n ≥
2, com os valores iniciais
F0
= 0
, F1
= 1
e apresenta a equação característica
x2−x−
1=0, possuindo duas raízes reais. Assim, a
sequência híbrida de Fibonacci é dada por: F Hn=Fn+Fn+1i+Fn+2ε+Fn+3h[6].
A sequência de Lucas, foi criada pelo matemático francês Édouard Anatole Lucas (1842-
1891) e apresenta grande semelhança com a sequência de Fibonacci, possuindo a mesma
relação de recorrência e alterando apenas as condições iniciais para
L0
= 2
, L1
= 1 e sua
equação característica é dada por
y2−y−
1=0. Logo, tem-se a sua relação de recorrência
dada por
Ln
=
Ln−1
+
Ln−2, n ≥
2. A sequência híbrida de Lucas é dada por:
LHn
=
Ln+Ln+1i+Ln+2ε+Ln+3h[6].
A sequência de Pell, assim como a sequência de Fibonacci e Lucas, também é uma
sequência numérica, linear e recorrente de segunda ordem, a sequência de Pell esta relacionada
ao matemático inglês John Pell (1611-1685), apresentando a sua relação de recorrência dada
por:
Pn
= 2
Pn−1
+
Pn−2, n ≥
2, com os valores iniciais iguais a
P0
= 0
, P1
= 1 e sua
equação característica é dada por
z2−
2
z−
1=0. A sequência híbrida de Pell é dada por:
P Hn=Pn+Pn+1i+Pn+2ε+Pn+3h[19].
A sequência de Mersenne, atribuída ao matemático francês Marin Mersenne (1588-1648),
é uma sequência numérica, linear e recorrente de segunda ordem, apresentado pela relação
de recorrência descrita por:
Mn
=
Mn−1−
2
Mn−2, n ≥
2, com os valores iniciais iguais a
M0
= 2
, M1
= 3 e sua equação característica dada por:
w2−
3
w
+ 2 = 0 [
2
]. A sequência
híbrida de Mersenne é expressa por:
MHn
=
Mn
+
Mn+1i
+
Mn+2ε
+
Mn+3h
[
3
], [
8
]ea
sequência híbrida de Oresme é dada por: OHn=On+On+1i+On+2ε+On+3h[8], [11].
A sequência Repunidade (ou repunit) é uma classe especial de números que consiste apenas
no dígito 1 repetido várias vezes. O nome "repunidade” vem de “repeated unit”, que se refere
à repetição do dígito 1 [
13
], [
14
]. A relação de recorrência dessa sequência é descrita por:
Rn+2
= 11
Rn+1 −
10
Rn, n ≥
0, sendo
R0
= 0 e
R1
= 1 suas condições iniciais. Logo, tem-se que
que o número híbrido Repunidade é apresentado como:
RHn
=
Rn
+
Rn+1i
+
Rn+2ε
+
Rn+3h
.
A sequência de Jacobsthal é uma sequência numérica, linear e recorrente de segunda ordem,
esta sequência carrega este nome em homenagem ao matemático Ernest Erich Jacobsthal
(1882-1965), apresentando a sua relação de recorrência dada por:
Jn
=
Jn−1
+ 2
Jn−2, n ≥
2,
com os valores iniciais iguais a
J0
= 0
, J1
= 1 e sua equação característica é apresentada por
v2−v−
2 = 0. A sequência híbrida de Jacobsthal é dada por:
JHn
=
Jn
+
Jn+1i
+
Jn+2ε
+
Jn+3h
[20].
A sequência de Oresme, originada por Nicole Oresme (1320-1382), assim como a sequência
de Mersenne, é uma sequência linear recorrênte de segunda ordem, descrita pela relação de
recorrência:
On
=
On−1−1
4On−2, n ≥
2, com os valores iniciais iguais a
M0
= 2
, M1
= 3 e
ReTMAT 4
O0
=
1
2, O1
=
2
4
e sua equação característica dada por:
t2−t
+
1
4
= 0 [
2
]. A sequência híbrida
de Oresme é dada por: OHn=On+On+1i+On+2ε+On+3h[8], [11].
Doravante, serão realizados os estudos em torno das formas matriciais híbridas dessas
sequências.
3 Forma matricial híbrida de uma sequência
Nesta seção, serão apresentada as formas matriciais híbridas das sequências de Fibonacci,
Lucas, Pell, Mersenne, Repunidade, Jacobsthal e Oresme, com referências à suas respectivas
recorrências e os trabalhos de [
1
], [
9
], [
10
], [
15
], [
20
], [
21
] e [
22
]. Assim, este estudo é motivado
pelo processo de generalização desses números apresentando sua extensão para os números
inteiros não positivos e suas respectivas matrizes híbridas.
3.1 Sequência de Fibonacci
Nesta subseção apresentaremos a forma matricial híbrida para a sequência de Fibonacci
para índice inteiros não negativo e não positivo.
A conhecida sequência de Fibonacci de números inteiros
{Fn}n≥0
é definida como
Fn+2
=
Fn
+
Fn+1, n ≥
0, com
F0
= 0 e
F1
= 1, a sequência A000045 na OEIS [
16
]. A sequência de
Fibonacci é estendida para todo número inteiro pela relação F−n= (−1)n−1Fn. Na Tabela 2
listamos alguns termos da sequência de Fibonacci:
Tabela 2: Termos da sequência de Fibonacci.
· · · F−6F−5F−4F−3F−2F−1F0F1F2F3F4F5F6· · ·
· · · -8 5 -3 2 -1 1 0 1 1 2 3 5 8 · · ·
Definição 3.1. A relação de recorrência da sequência híbrida de Fibonacci para
n≥
1, é dada
por:
F Hn+1 =F Hn+F Hn−1,
sendo F H0=i+ε+ 2heF H1=1+i+ 2ε+ 3hos termos iniciais desta sequência.
Definição 3.2. Os números híbridos de Fibonacci com índices negativos são definidos por:
F H−n=F−n+F−n+1i+F−n+2ε+F−n+3h,
sendo F H−1=1+ε+heF H−2=−1+i+hos termos iniciais desta sequência.
Façamos
ϕn
=
"F Hn+1 F Hn
F HnF Hn−1#
a forma matricial híbrida de Fibonacci. O próximo
resultado, para todo
n≥
0, a matriz híbrida de Fibonacci
ϕn
descrevera cada elemento da
sequência
F Hn
em termos das potências da matriz
ϕn
na posição
a11
, usando o seguinte
produto.
Teorema 3.3. A forma matricial híbrida de Fibonacci, para n≥1, é dada por:
"F Hn+1 F Hn
F HnF Hn−1#="F H1F H0
F H0F H−1#"1 1
1 0#n
,(1)
em que {F Hn}n≥0é a sequencia híbrida de Fibonacci.
ReTMAT 5
Demonstração. Utilizando o princípio da indução infinita em n, tem-se que:
Para n= 1:
"F H1F H0
F H0F H−1#"1 1
1 0#="F H1+F H0F H1
F H0+F H−1F H0#="F H2F H1
F H1F H0#.
Supondo que seja válido para algum kinteiro, com 1≤k, ou seja:
"F H1F H0
F H0F H−1#"1 1
1 0#k
="F Hk+1 F Hk
F HkF Hk−1#.
Mostraremos que é válido para k+ 1. Vejamos:
"F H1F H0
F H0F H−1#"1 1
1 0#k+1
="F H1F H0
F H0F H−1#"1 1
1 0#k"1 1
1 0#
="F Hk+1 F Hk
F HkF Hk−1#"1 1
1 0#
="F Hk+1 +F HkF Hk+1
F Hk+F Hk−1F Hk#
="F Hk+2 F Hk+1
F Hk+1 F Hk#,
o que garante a validade do resultado.
Considere a expressão da esquerda na Equação
(1)
para a matriz
ϕn
, temos que o determi-
nante desta matriz resulta em
det(ϕn)=F Hn+1F Hn−1−F H2
n.
Dada a matriz
"1 1
1 0#,
temos que
det "1 1
1 0#
=
−
1
.
Agora, com a ajuda da propriedade do
determinante de um produto de matrizes, concluímos que det "1 1
1 0#n
= (−1)n.
Agora vamos determinar a identidade de Cassini para a sequência híbrida de Fibonacci
{F Hn}n≥0.
Proposição 3.4. Para todo inteiro não negativo n, temos que a identidade ocorre:
F Hn+1F Hn−1−F H2
n= (−1)n+1(2i+ 5ε+ 3h).
sendo {F Hn}n≥0a sequencia híbrida de Fibonacci.
Demonstração.
Vamos calcular o determinante da matriz
ϕn
usando o produto de matrizes da
direita na Equação (1). Vejamos:
det "F H1F H0
F H0F H−1#"1 1
1 0#n!
= det "F H1F H0
F H0F H−1#·det "1 1
1 0#n
= (−1)n(F H1F H−1−F H2
0)
= (−1)nh(1+i+ 2ε+ 3h)(1 + ε+h)−(i+ε+ 2h)2i
= (−1)n(2i+ 5ε+ 3h),
como desejávamos.
ReTMAT 6
O próximo resulta expressa a forma matricial híbrida de Fibonacci para índice inteiro não
positivo. Prova-se usando indução matemática em n, tal como fizemos no Teorema 3.3.
Teorema 3.5. A forma matricial híbrida de Fibonacci para índice inteiro não positivo,
n >
0,
é dada por:
"F H1F H0
F H0F H−1#"0 1
1−1#n
="F H−n+1 F H−n
F H−nF H−n−1#,
em que {F Hn}n≥0é a sequencia híbrida de Fibonacci.
3.2 Sequência de Lucas
Nesta subseção, apresentaremos a formulação matricial híbrida da sequência de Lucas,
considerando índices inteiros tanto não negativos quanto não positivos.
A sequência de Lucas de números inteiros
{Ln}n≥0
é definida pela mesma relação de
recorrência da sequência de Fibonacci, ou seja,
Ln+2
=
Ln
+
Ln+1, n ≥
0, com
L0
= 2 e
L1
= 1, a sequência listado como A000032 na OEIS [
16
]. A sequência de Lucas é estendida
para todo número inteiro pela relação
L−n
= (
−
1)
nLn
. Na Tabela 3listamos alguns termos
da sequência de Lucas:
Tabela 3: Termos da sequência de Lucas.
· · · L−6L−5L−4L−3L−2L−1L0L1L2L3L4L5L6· · ·
· · · 18 -11 7 -4 3 -1 2 1 3 4 7 11 18 · · ·
Definição 3.6. A fórmula de recorrência da sequência híbrida de Lucas para
n≥
1, é dada
por:
LHn+1 =LHn+LHn−1,
sendo LH0=2+i+ 3ε+ 4heLH1= 1 + 3i+ 4ε+ 7hos termos iniciais desta sequência.
Definição 3.7. Os números híbridos de Lucas com índices negativos são definidos por:
LH−n=L−n+L−n+1i+L−n+2ε+L−n+3h,
sendo LH−1=−1+2i+ε+ 3heLH−2= 3 −i+ 2ε+hos termos iniciais desta sequência.
Os dois principais resultados desta subseção apresentam a forma matricial híbrida da
sequência de Lucas para índices inteiros não negativo e não positivo. A demonstração é feita
por indução matemática em n, seguindo o mesmo procedimento utilizado no Teorema 3.3.
Seja
λn
=
"LHn+1 LHn
LHnLHn−1#
a matriz híbrida de Lucas. O próximo resultado mostra
que, para todo
n≥
0, a matriz
λn
descreve cada elemento da sequência
LHn
em termos das
potências da matriz λn, especificamente na entrada a11, conforme o seguinte produto.
Teorema 3.8. A forma matricial híbrida de Lucas, para n≥1, é dada por:
"LHn+1 LHn
LHnLHn−1#="LH1LH0
LH0LH−1#"1 1
1 0#n
,(2)
sendo LHnon-ésimo termo da sequencia híbrida de Lucas.
ReTMAT 7
Se considerarmos a expressão à esquerda na equação
(2)
para a matriz
λn
, temos que o
determinante desta matriz dá
det(λn)=LHn+1LHn−1−LH2
n.
Dada a matriz
"1 1
1 0#,
temos que
det "1 1
1 0#
=
−
1
.
Agora, com a ajuda da propriedade do
determinante de um produto de matrizes, concluímos que det "1 1
1 0#n
= (−1)n.
Agora vamos determinar a identidade de Cassini para a sequência híbrida de Lucas
{LHn}n≥0.
Proposição 3.9. Para todo inteiro não negativo n, temos que a identidade ocorre:
LHn+1LHn−1−LH2
n= (−1)n+1(10i+ 25ε+ 15h).
sendo {LHn}n≥0a sequencia híbrida de Lucas.
Demonstração.
Vamos calcular o determinante da matriz
λn
usando o produto de matrizes da
direita na Equação (2). Vejamos:
det "LH1LH0
LH0LH−1#"1 1
1 0#n!
= det "LH1LH0
LH0LH−1#·det "1 1
1 0#n
= (−1)n(LH1LH−1−LH2
0)
= (−1)nh(1 + 3i+ 4ε+ 7h)(−1 + 2i+ε+ 3h)−(2+i+ 3ε+ 4h)2i
= (−1)n(−10i−25ε−15h)
= (−1)n+1(10i+ 25ε+ 15h),
como desejávamos.
O resultado a seguir apresenta a forma matricial híbrida da sequência de Lucas para índices
inteiros não positivo.
Teorema 3.10. A forma matricial híbrida de Lucas para índice inteiro não positivo,
n >
0, é
dada por:
"LH−n+1 LH−n
LH−nLH−n−1#="LH1LH0
LH0LH−1#"0 1
1−1#n
.
3.3 Sequência de Pell
Nesta subseção, será apresentada a formulação matricial híbrida da sequência de Pell,
abrangendo índices inteiros tanto não positivos quanto não negativos.
A sequência de Pell, denotada por
{Pn}n≥0
, é definida pela seguinte relação de recorrência:
Pn+2
= 2
Pn+1
+
Pn, n ≥
0
,
com os valores iniciais
P0
= 0 e
P1
= 1. Esta sequência
corresponde à entrada A000129 na OEIS [
16
]. A sequência de Pell pode ser estendida para
todos os inteiros, utilizando a relação
P−n
= (
−
1)
nPn
. A Tabela 4apresenta alguns termos
dessa sequência:
ReTMAT 8
Tabela 4: Termos da sequência de Pell.
· · · P−6P−5P−4P−3P−2P−1P0P1P2P3P4P5P6· · ·
· · · 70 -29 12 -5 2 -1 0 1 2 5 12 29 70 · · ·
Definição 3.11. A fórmula de recorrência da sequência híbrida de Pell para
n≥
1, é dada
por:
P Hn+1 = 2P Hn+P Hn−1,
com P H0=i+ 2ε+ 5heP H1= 1 + 2i+ 5ε+ 12hos valores iniciais desta sequência.
Definição 3.12. Os números híbridos de Pell com índices negativos são definidos por:
P H−n=P−n+P−n+1i+P−n+2ε+P−n+3h,
sendo P H−1=−1+ε+ 2heP H−2=−2+i+hos termos iniciais desta sequência.
Os dois principais resultados desta subseção apresentam a forma matricial híbrida da
sequência de Pell para índices inteiros não negativos e não positivos. A prova é conduzida por
meio de indução matemática em
n
, seguindo o mesmo procedimento adotado no Teorema 3.3.
Agora, tomemos
δn
=
"P Hn+1 P Hn
P HnP Hn−1#
a matriz híbrida de Pell. O próximo resultado
mostra que, para todo
n≥
0, a matriz
δn
descreve cada elemento da sequência
P Hn
em termos
das potências da matriz δn, especificamente na entrada a11, conforme o seguinte produto.
Teorema 3.13. A forma matricial híbrida de Pell, para n≥1, é dada por:
"P Hn+1 P Hn
P HnP Hn−1#="P H1P H0
P H0P H−1#"2 1
1 0#n
,(3)
sendo P Hnon-ésimo termo da sequencia híbrida de Pell.
Ao analisarmos a expressão à esquerda da equação
(3)
para a matriz
δn
, o determinante
dessa matriz é dado por:
det(δn) =
P Hn+1 P Hn
P HnP Hn−1
=P Hn+1P Hn−1−P H2
n.
Dada a matriz
"2 1
1 0#,
temos que
det "2 1
1 0#
=
−
1
.
Agora, com a ajuda da propriedade do
determinante de um produto de matrizes, concluímos que det "2 1
1 0#n
= (−1)n.
Agora vamos determinar a identidade de Cassini para a sequência híbrida de Pell
{P Hn}n≥0
.
Proposição 3.14. Para todo inteiro não negativo n, temos que a identidade ocorre:
P Hn+1P Hn−1−P H2
n= (−1)n(−3+2i+ 2ε−12h).
sendo {P Hn}n≥0a sequencia híbrida de Pell.
ReTMAT 9
Demonstração.
Vamos calcular o determinante da matriz
δn
usando o produto de matrizes da
direita na Equação (3). Vejamos:
det "P H1P H0
P H0P H−1#"2 1
1 0#n!
= det "P H1P H0
P H0P H−1#·det "2 1
1 0#n
= (−1)n(P H1P H−1−P H2
0)
= (−1)nh(1 + 2i+ 5ε+ 12h)(−1 + ε+ 2h)−(i+ 2ε+ 5h)2i
= (−1)n(−3+2i+ 2ε−12h)
como desejávamos.
Por fim, apresentamos a forma matricial híbrida de Pell para índice inteiro não positivo.
Teorema 3.15. A forma matricial híbrida de Pell para índice inteiro não positivo,
n >
0, é
dada por:
"P H−n+1 P H−n
P H−nP H−n−1#="P H1P H0
P H0P H−1#"0 1
1−2#n
,
sendo P Hnon-ésimo termo da sequencia híbrida de Pell.
3.4 Sequência de Mersenne
Esta subseção apresenta uma formulação de matriz híbrida da sequência de Mersenne,
abrangendo índices inteiros não positivos e não negativos.
A sequência de Mersenne, representada por
{Mn}n≥0
, é definida pela seguinte relação de
recorrência:
Mn+2
= 2
Mn+1
+
Mn, n ≥
0
,
com os valores iniciais
M0
= 0 e
M1
= 1. Essa
sequência corresponde à entrada A000225 na OEIS [
16
]. A extensão da sequência de Mersenne
para números inteiros é dada pela fórmula
M−n
=
−Mn
2n
. Na Tabela 5, apresentamos alguns
termos da sequência de Pell:
Tabela 5: Termos da sequência de Mersenne.
· · · M−6M−5M−4M−3M−2M−1M0M1M2M3M4M5M6· · ·
· · · −63
64 −31
32 −15
16 −7
8−3
4−1
20 1 3 7 15 31 63 · · ·
A seguir apresentamos a definição para uma sequência híbrida de Mersenne com índice
não negativo e não positivo.
Definição 3.16. A fórmula de recorrência da sequência híbrida de Mersenne para
n≥
0, é
dada por:
MHn+2 = 3MHn+1 −2MHn,
sendo MH0=i+ 3ε+ 7heMH1= 1 + 3i+ 7ε+ 15hos termos iniciais desta sequência.
Definição 3.17. Os números híbridos de Mersenne com índices negativos são definidos por:
MH−n=M−n+M−n+1i+M−n+2ε+M−n+3h,
sendo MH−1=−1
2+ε+ 3heMH−2=−3
4−1
2i+hos termos iniciais desta sequência.
ReTMAT 10
Os dois principais resultados desta subseção apresentam a forma matricial híbrida da
sequência de Mersenne para índices inteiros não negativo e para índices inteiros não positivo.
Como antes, a demonstração é feita por indução matemática em
n
, seguindo o mesmo
procedimento utilizado no Teorema 3.3.
Seja
ϵn
=
"MHn+1 MHn
MHnMHn−1#
a matriz híbrida de Mersenne. O próximo resultado
demonstra que, para todo
n≥
0, a matriz
ϵn
expressa cada elemento da sequência
MHn
em
função das potências da matriz
ϵn
. Mais especificamente, o elemento
MHn+1
pode ser obtido
na entrada a11 da matriz ϵn.
Teorema 3.18. A forma matricial híbrida de Mersenne, para n≥1, é dada por:
"MHn+1 MHn
MHnMHn−1#="MH1MH0
MH0MH−1#" 3 1
−2 0#n
,(4)
sendo {MHn}n≥0a sequencia híbrida de Mersenne.
Considere a matriz da esquerda na Equação
(4)
para a matriz
ϵn
, temos que o determinante
desta matriz resulta em
det(ϵn)=MHn+1M Hn−1−M H2
n.
Dada a matriz
"3 1
−2 0#,
temos que
det "3 1
−2 0#
= 2
.
Agora, com a ajuda da propriedade
do determinante de um produto de matrizes, concluímos que det "3 1
−2 0#n
= 2n.
Agora vamos determinar a identidade de Cassini para a sequência híbrida de Mersenne
{MHn}n≥0.
Proposição 3.19. Para todo inteiro não negativo n, temos que a identidade ocorre:
MHn+1M Hn−1−M H2
n= 2n(−13 + 15i+ε−15h).
sendo {MHn}n≥0a sequencia híbrida de Mersenne.
Demonstração.
Vamos calcular o determinante da matriz
ϵn
usando o produto de matrizes da
direita na Equação (4). Vejamos:
det "MH1MH0
MH0MH−1#" 3 1
−2 0#n!
= det "MH1M H0
MH0MH−1#·det "3 1
−2 0#n
= 2n(MH1MH−1−MH2
0)
= 2n(1 + 3i+ 7ε+ 15h)−1
2+ε+ 3h−(i+ 3ε+ 7h)2
= 2n−1(−13 + 15i+ε−15h),
como desejávamos.
Por fim, apresentamos a forma matricial híbrida de Mersenne para índice inteiro não
positivo.
Teorema 3.20. Para todo inteiro não negativo n>0, temos que:
"MH−nMH−n
MH−n+1 MH−n+1#="M H0M H−1
MH1MH0#"0−1
2
13
2#n
,
em que {MHn}n≥0é a sequencia híbrida de Mersenne.
ReTMAT 11
3.5 Sequência Repunidade
Esta subseção apresenta uma formulação de matriz híbrida da sequência repunidade, a
sequência formada apenas pelos números repunidades, correspondendo à sequência
A
002275
na OEIS [
16
], conforme [
13
] e [
14
], abrangendo índices inteiros não positivos e não negativos.
Tabela 6: Termos da sequência de Repunidade.
· · · R−5R−4R−3R−2R−1R0R1R2R3R4R5· · ·
· · · −11111
105−1111
104−111
103−11
102−1
10 0 1 11 111 1111 11111 · · ·
Em continuidade, apresentamos a definição de um número híbrido repunidade. Primeiro a
definição de um número híbrido repunidade com índice positivo.
Definição 3.21. A fórmula de recorrência da sequência híbrida repunidade para
n≥
0, é
dada por:
RHn+2 = 11RHn+1 −10RHn,
sendo
RH0
=
i
+11
ε
+111
h
e
MH1
= 1+11
i
+111
ε
+1111
h
os termos iniciais desta sequência.
Agora a definição de um número híbrido repunidade com índice negativo.
Definição 3.22. Os números híbridos de repunidade com índices negativos são definidos por:
RH−n=R−n+R−n+1i+R−n+2ε+R−n+3h,
sendo
RH−1
=
−1
10
+
ε
+ 11
h
e
RH−2
=
−11
100 −1
10i
+ 11
h
os termos iniciais desta sequência.
Os dois principais resultados desta subseção apresentam a forma matricial híbrida da
sequência repunidade para índices inteiros não negativo e para índices inteiros não positivo. A
demonstração também é feita por indução matemática em
n
, seguindo o mesmo procedimento
utilizado no Teorema 3.3.
Seja
ρn
=
"RHn+1 RHn
RHnRHn−1#
a matriz híbrida repunidade. O próximo resultado demonstra
que, para todo
n≥
0, a matriz
ρn
descreve cada elemento da sequência
RHn
em termos das
potências da matriz
ρn
, mais especificamente na entrada
a11
, como indicado pelo seguinte
produto.
Teorema 3.23. A forma matricial híbrida repunidade, para n≥1, é dada por:
"RHn+1 RHn
RHnRHn−1#="RH1RH0
RH0RH−1#" 11 1
−10 0#n
,(5)
sendo {RHn}n≥0a sequencia híbrida repunidade.
Considere a expressão da esquerda na Equação
(5)
para a matriz
ρn
, temos que o determi-
nante desta matriz resulta em
det(ρn)=RHn+1RHn−1−RH2
n.
Dada a matriz
"11 1
−10 0#,
temos que
det "11 1
−10 0#
= 10
.
Agora, fazendo uso da propriedade
do determinante de um produto de matrizes, concluímos que det "11 1
−10 0#n
= 10n.
Agora vamos determinar a identidade de Cassini para a sequência híbrida repunidade
{RHn}n≥0.
ReTMAT 12
Proposição 3.24. Para n≥1, vale a seguinte identidade:
RHn+1RHn−1−RH2
n= 10n−1(121999 −i−2210ε−2111h),
sendo {RH}n≥0a sequência híbrida repunidade .
Demonstração. Veja que
det "RH1RH0
RH0RH−1#" 11 1
−10 0#n!
= 10n(RH1RH−1−RH2
0)
= 10n(1 + 11i+ 111ε+ 1111h)−1
10 +ε+ 11h−(i+ 11ε+ 111h)2)
= 10n−1(−1001 + 1199i+ 9ε−1111h),
como desejamos.
Para finalizar a seção apresentamos a forma matricial da sequencia híbrida repunidade
para índice inteiro não positivo.
Teorema 3.25. Para todo n>0, temos que:
"RH−nRH−n
RH−n+1 RH−n+1#="RH0RH−1
RH1RH0#"0−1
10
111
10 #n
,
sendo {RHn}n≥0a sequencia híbrida repunidade.
3.6 Sequência de Jacobsthal
Nesta subseção, será apresentada a formulação matricial híbrida da sequência de Jacobsthal,
abrangendo índices inteiros tanto não positivos quanto não negativos.
A sequência de Jacobsthal de números inteiros
{Jn}n≥0
é definida pela relação de recorrência:
Jn
=
Jn−1
+2
Jn−2, n ≥
2, com
J0
= 0 e
J1
= 1, a sequência listado como A001045 na OEIS [
16
].
A sequência de Jacobsthal é estendida para todo número inteiro pela relação
J−n
=
J−n+2−J−n+1
2
.
Na Tabela 7listamos alguns termos da sequência de Jacobsthal:
Tabela 7: Termos da sequência de Jacobsthal.
· · · J−6J−5J−4J−3J−2J−1J0J1J2J3J4J5J6· · ·
· · · −21
64
11
32 −5
16
3
8−1
4
1
20 1 1 3 5 11 21 · · ·
Definição 3.26. A fórmula de recorrência da sequência híbrida de Jacobsthal para
n≥
2, é
dada por:
JHn=JHn−1+ 2JHn−2,
sendo JH0=i+ε+ 3heJH1=1+i+ 3ε+ 5hos termos iniciais desta sequência.
Definição 3.27. Os números híbridos de Jacobsthal com índices negativos são definidos por:
JH−n=J−n+J−n+1i+J−n+2ε+J−n+3h,
sendo JH−1=1
2+ε+heJH−2=−1
4+1
2i+hos termos iniciais desta sequência.
ReTMAT 13
Os dois principais resultados desta subseção apresentam a forma matricial híbrida da
sequência de Jacobsthal para índices inteiros não negativos e não positivos. A prova é
conduzida por meio de indução matemática em
n
, seguindo o mesmo procedimento adotado
no Teorema 3.3.
Agora, tomemos
ζn
=
"JHn+1 2JHn
JHn2JHn−1#
a matriz híbrida de Jacobsthal. O próximo
resultado mostra que, para todo
n≥
0, a matriz
ζn
descreve cada elemento da sequência
JHn
em termos das potências da matriz
ζn
, especificamente na entrada
a11
, conforme o seguinte
produto.
Teorema 3.28. A forma matricial híbrida de Jacobsthal, para n≥1, é dada por:
ζn="JHn+1 2JHn
JHn2JHn−1#="JH12JH0
JH02JH−1#"1 2
1 0#n
.(6)
Demonstração. A validação ocorre de forma análoga à demonstração do Teorema 3.3.
Ao analisarmos a expressão à esquerda da equação
(6)
para a matriz
ζn
, o determinante
dessa matriz é dado por:
det(ζn) =
JHn+1 2JHn
JHn2JHn−1
=JHn+1JHn−1−JH2
n.
Dada a matriz
"1 2
1 0#,
temos que
det "1 2
1 0#
=
−
2
.
Agora, com a ajuda da propriedade
do determinante de um produto de matrizes, concluímos que det "1 2
1 0#n
= (−2)n.
Agora vamos determinar a identidade de Cassini para a sequência híbrida de Jacobsthal
{JHn}n≥0.
Proposição 3.29. Para todo inteiro não negativo n, temos que a identidade ocorre:
JHn+1JHn−1−JH2
n= (−2)n−1(−7+3i+ 10ε+ 5h).
sendo {JHn}n≥0a sequencia híbrida de Jacobsthal.
Demonstração.
Vamos calcular o determinante da matriz
ζn
usando o produto de matrizes da
direita na Equação (6). Vejamos:
det "JH1JH0
JH0JH−1#"1 2
1 0#n!
= det "JH1JH0
JH0JH−1#·det "1 2
1 0#n
= (−2)n(JH1JH−1−JH2
0)
= (−2)n(1+i+ 3ε+ 5h)1
2+ε+h−(i+ε+ 3h)2
= (−2)n−1(−7+3i+ 10ε+ 5h)
como desejávamos.
Por fim, apresentamos a forma matricial híbrida de Jacobsthal para índice inteiro não
positivo.
ReTMAT 14
Teorema 3.30. A forma matricial híbrida de Jacobsthal para índice inteiro não positivo,
n>0, é dada por:
"JH−n+1 2JH−n
JH−n2JH−n−1#="JH12JH0
JH02JH−1#
0 2
1
2−1
2
n
.
Demonstração. A validação ocorre de forma análoga à demonstração do Teorema 3.3.
3.7 Sequência de Oresme
Nesta subseção, será apresentada a formulação matricial híbrida da sequência de Oresme,
abrangendo índices inteiros tanto não positivos quanto não negativos.
A sequência de Oresme de números inteiros
{On}n≥0
é definida pela relação de recorrência:
On+2
=
On+1 −1
4On, n ≥
0, com
O0
= 0 e
O1
=
1
2
, a sequência listado como A273692
na OEIS [
16
]. A sequência de Oresme é estendida para todo número inteiro pela relação
O−n= 4O−n+1 −4O−n+2. Na Tabela 8listamos alguns termos da sequência de Oresme:
Tabela 8: Termos da sequência de Oresme.
· · · O−6O−5O−4O−3O−2O−1O0O1O2O3O4O5O6· · ·
· · · -384 -160 -64 -24 -8 -2 0 1
2
2
4
3
8
4
16
5
32
6
64 · · ·
Definição 3.31. A fórmula de recorrência da sequência híbrida de Oresme para
n≥
0, é dada
por:
OHn+2 =OHn+1 −1
4OHn,
sendo OH0=1
2i+2
4ε+3
8heOH1=1
2+2
4i+3
8ε+4
16hos termos iniciais desta sequência.
Definição 3.32. Os números híbridos de Oresme com índices negativos são definidos por:
OH−n=O−n+O−n+1i+O−n+2ε+O−n+3h,
sendo OH−1=−2 + 1
2ε+2
4heOH−2=−8−2i+1
2hos termos iniciais desta sequência.
Os dois principais resultados desta subseção apresentam a forma matricial híbrida da
sequência de Oresme para índices inteiros não negativos e não positivos. A prova é conduzida
por meio de indução matemática em
n
, seguindo o mesmo procedimento adotado no Teorema
3.3.
Agora, tomemos
ηn
=
"OHn+1 OHn
OHnOHn−1#
a matriz híbrida de Oresme. O próximo resultado
mostra que, para todo
n≥
0, a matriz
ηn
descreve cada elemento da sequência
OHn
em termos
das potências da matriz ηn, especificamente na entrada a11, conforme o seguinte produto.
Teorema 3.33. A forma matricial híbrida de Oresme, para n≥1, é dada por:
ηn="OHn+1 OHn
OHnOHn−1#="OH1OH0
OH0OH−1#
1 1
−1
40
n
.(7)
Demonstração. A validação ocorre de forma análoga à demonstração do Teorema 3.3.
ReTMAT 15
Ao analisarmos a expressão à esquerda da equação
(7)
para a matriz
ηn
, o determinante
dessa matriz é dado por:
det(ηn) =
OHn+1 OHn
OHnOHn−1
=OHn+1OHn−1−OH2
n.
Dada a matriz
1 1
−1
40
,temos que det
1 1
−1
40
=1
4.Agora, com a ajuda da propriedade
do determinante de um produto de matrizes, concluímos que det
1 1
−1
40
n
=1
4n
.
Agora vamos determinar a identidade de Cassini para a sequência híbrida de Oresme
{OHn}n≥0.
Proposição 3.34. Para todo inteiro não negativo n, temos que a identidade ocorre:
OHn+1OHn−1−OH2
n=−1
4n10155625
105+75
102i+3125
104ε+1
2h.
sendo {OHn}n≥0a sequencia híbrida de Oresme.
Demonstração.
Vamos calcular o determinante da matriz
ηn
usando o produto de matrizes da
direita na Equação (7). Vejamos:
det
"OH1OH0
OH0OH−1#
1 1
−1
40
n
= det "OH1OH0
OH0OH−1#·det
1 1
−1
40
n
=1
4n
(OH1OH−1−OH2
0)
=1
4n"1
2+2
4i+3
8ε+4
16h−2 + 1
2ε+2
4h−1
2i+2
4ε+3
8h2#
=−1
4n10155625
105+75
102i+3125
104ε+1
2h,
como queríamos.
Por fim, apresentamos a forma matricial híbrida de Oresme para índice inteiro não positivo.
Teorema 3.35. A forma matricial híbrida de Oresme para índice inteiro não positivo,
n >
0,
é dada por:
"OH−n+1 OH−n
OH−nOH−n−1#="OH1OH0
OH0OH−1#"0−4
1 4 #n
.
Demonstração. A validação ocorre de forma análoga à demonstração do Teorema 3.3.
ReTMAT 16
4 Conclusão
Este estudo possibilitou a análise das formas matriciais híbridas de sequências lineares
recursivas de segunda ordem, como as de Fibonacci, Lucas, Pell, Mersenne, Repunidade,
Jacobsthal e Oresme. Com isso, foi possível obter as matrizes híbridas geradoras a partir das
respectivas sequências unidimensionais, bem como calcular o determinante dessas matrizes e
suas respectivas identidades de Cassini. Além disso, foi realizada uma extensão para índices
inteiros não positivos, permitindo uma generalização das formas matriciais híbridas associadas
às sequências analisadas.
Para trabalhos futuros, investiga-se a aplicação das formas matriciais híbridas dessas
sequências integradas à outras áreas.
Agradecimentos
Os autores agradecem à Revista Tocantinense de Matemática pelo espaço de divulgação
científica.
Financiamento
A parte de desenvolvimento da pesquisa no Brasil contou com o apoio financeiro do
Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq).
A parte de desenvolvimento da pesquisa em Portugal é financiado por Fundos Nacionais
através da Fundação para a Ciência e a Tecnologia. I. P (FCT), no âmbito do projeto
UID/00013/2025 (https://doi.org/10.54499/UID/00013/2025).
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